부록 D — 벡터공간

D.1 벡터공간의 정의와 의미

벡터공간(vector space) 은 어떤 집합 \(S\) 에 다음과 같은 두 개의 연산이 정의된 공간을 말한다.

1. 두 개의 원소에 대한 더하기(addition, \(+\)) 연산의 정의되어 있다.

   \[+ ~ ~ : S + S \rightarrow S \tag{D.1}\]

2. 하나의 실수와 한 개의 원소에 대한 스칼라곱(scalar product, \(\cdot\)) 연산이 정의되어 있다.

   \[\cdot ~ ~ : \RR \cdot S \rightarrow S \tag{D.2}\]

위에서 더하기 연산이 정의되어 있다는 의미는 다음에 주어진 규칙이 성립한다는 의미이다.

• 집합 \(S\) 가 연산에 대하여 닫혀있다 (closure).

\[ s_1 + b \in S \quad \forall s_1,b \in S \]

• 결합법칙이 성립한다 (Associativity).

\[ (s_1 + s_2) + s_3 = s_1 + (s_2 +s_3) \quad \forall s_1,s_2,s_3 \in S \]

• 항등원이 존재한다 (Neutral element).

\[ s + e = e + s = s \quad \exists e ~~\forall s \in S \]

• 역원이 존재한다 (Inverse element).

\[ s + i = i + s = 0 \quad \exists i ~~\ \forall s \in S \]

일반적으로 항등원(\(e\)) 는 \(0\) 으로 표시하며 역원(\(i\)) 는 \(-s\) 로 표시한다.

• 교환법칙이 성립한다 (Commutativity).

\[ s_1 + s_2 = s_2 + s_1 \quad \forall s_1,s_2 \in S \]

또한 위에서 스칼라곱 연산이 정의되어 있다는 의미는 다음에 주어진 규칙이 성립한다는 의미이다.

• 스칼라곱 연산의 분배법칙이 성립한다 (Distributivity).

\[ r_1(s_1+s_2) = r_1 s_1 + r_2 s_2,~~~ (r_1+r_2)s = r_1 s + r_2 s \quad \forall s_1,s_2 \in S, ~~ \forall r_1,r_2 in \RR \]

• 스칼라곱 연산의 결합법칙이 성립한다

\[ r_1(r_2s) = (r_1 r_2) s \quad \forall s \in S, ~~ \forall r_1,r_2 in \RR \]

• 스칼라곱 연산의 항등원이 존재한다 (Neutral element).

\[ 1 \cdot s = s \quad \forall s \in S \]

일반적으로 벡터공간은 \((S,+,f)\) 라고 표시한다. 이러한 표시에서 함수 \(f\) 는 스칼라곱 연산에 대한 정의를 나타내는 것이며 식 D.2 에 나타나는 대응을 의미한다.

이 강좌에서는 스칼라로 실수만 사용하고 있으므로 벡터공간을 실벡터(real vector space) 라고 부른다.

\[ f : \RR \cdot S \rightarrow S, \quad \text{즉} \quad f(rs) = r \cdot s =rs \]

주의

벡터 공간에서 주의할 점은 두 벡터의 곱하기 가 정의되어 있다는 것이 아니라 하나의 스칼라와 하나의 벡터에 대한 스칼라 곱하기가 정의되어 있다는 것이다.

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} =? \quad {but} \quad 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} \]

두 벡터의 곱하기 는 나중에 내적(inner product) 란 이름으로 따로 정의한다.

D.2 벡터의 선형독립

벡터공간에 속한 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 의 선형결합(또는 선형결합, linear combination)이란 각 벡터에 스칼라를 곱하여 더한 것들이다. 즉 다음과 같은 형태의 식을 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\)의 선형결합(linear combination)이라고 한다:

\[ r_1 \pmb v_1 + r_2 \pmb v_2 + \cdots + r_n \pmb v_n, \quad r_1,r_2,\dots, r_n \in \RR \tag{D.3}\]

정의 D.1 (벡터의 선형독립과 선형종속) 벡터공간에 속한 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 가 있다고 하자. 만약 다음 식이 만약 모두 \(0\)인 \(n\)개의 스칼라 \(x_1,x_2,\dots,x_n\)에 대해서만 성립하면 \(n\)개 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 들은 선형독립(linearly independent)라고 한다.

\[ x_1 \pmb v_1 + x_2 \pmb v_2 + \dots + x_n \pmb v_n = \pmb 0 \quad \Longleftrightarrow x_1 = x_2 = \dots = x_n =0 \tag{D.4}\]

또한 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 가 선형독립이 아니면 선형종속(linear dependent)라고 한다. 벡터 \(\pmb v_1, ~~ \pmb v_2, ~~\dots ~~, \pmb v_n\) 가 선형종속이면 모두 0이 아닌 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 이 존재하여 다음이 성립한다는 것이다.

\[ \exists~ x_1,x_2,\dots,x_n \in \RR \text{ s.t. } (x_1,x_2,\dots,x_n) \ne \pmb 0,\quad \pmb v_1 + x_2 \pmb v_2 + \dots + x_n \pmb v_n = \pmb 0 \tag{D.5}\]

\(\blacksquare\)

예를 들어 다음과 같이 주어진 3개의 3-차원 벡터들은 선형종속이다.

\[ \pmb v_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_3 = \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 5 \end{bmatrix} \tag{D.6}\]

왜냐하면 다음과 같이 모두 0이 아닌 스칼라에 의해서 다음 식이 성립하기 떄문이다. 즉 벡터 \(\pmb v_3\)는 \(\pmb v_2\) 에 2를 곱하여 \(\pmb v_1\)에 더한 값과 같다.

\[ \pmb v_3 = \pmb v_1 + 2 \pmb v_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \pmb v_1 + 2 \pmb v_2 -\pmb v_3 = 0 \]

이제 다음과 같이 주어진 3개의 3-차원 벡터들은 선형독립이다. 즉 3개 벡터의 선형 조합이 0이 될 수 있도록 만드는 스칼라는 모두 0인 경우 밖에 없다.

\[ \pmb v_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_3 = \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 4 \end{bmatrix} \tag{D.7}\]

이제 다음과 같이 주어진 4개의 3-차원 벡터들은 선형종속이다.

\[ \pmb v_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_2 = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \pmb v_3 = \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 4 \end{bmatrix} \quad \pmb v_4 = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{D.8}\]

\(\pmb v_3\) 가 다음과 같이 다른 벡터의 선형결합으로 나타난는 것을 보여준다.

\[ \pmb v_3 = \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 4 \end{bmatrix} = (1)\pmb v_1 + (2)\pmb v_2 + (-1)\pmb v_4 = (1) \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix} + (2) \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} + (-1)\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \]

식 D.8 와 같이 3차원 벡터가 4개인 경우 벡터의 값에 관계없이 선형종속으로 나타난다. 이러한 사실은 \(\RR^n\)의 \(n+1\) 개의 벡터는 항상 선형종속이라는 정리(슬라이드 6페이지의 정리 참조)의 결과이다. 즉, \(\RR^n\)에서 \(n\)개보다 더 많은 벡터들은 항상 선형종속이다.

D.3 생성집합과 기저

정의 D.2 (생성집합과 기저) 벡터공간 \(V\) 의 벡터 \(\pmb v_1,\pmb v_n, \dots, \pmb v_m\) 의 선형결합을 모두 모은 집합

\[ W = span\{\pmb v_1,\pmb v_2, \dots, \pmb v_m \} = \{r_1\pmb v_1 + r_2 \pmb v_2 + \cdots+ r_m \pmb v_m: r_1,r_2,\dots,r_m \in \RR \}\]

을 벡터 \(\pmb v_1,\pmb v_n, \dots, \pmb v_m\) 의 생성(span)이라고 하며 \(W\) 의 생성집합(generating set, spanning set) 이라고 한다.

또한 어떤 벡터공간(혹은 부분공간)의 생성집합에 속한 벡터들이 선형독립일 때 이 생성집합을 기저 (basis)라고 한다

\(\blacksquare\)

D.4 중요한 내용과 정의

• \(\RR^n\) 의 모든 기저는 \(n\)개의 원소를 갖는다.
• 임의의 벡터공간 \(V\)에 대해서 \(V\)의 부분집합 \(B = \{\pmb b_1,\dots,\pmb b_n\}\) 가 \(V\)의 한 기저라고 하면 다음을 보일 수 있다.
  • \(V\) 의 모든 벡터들은 \(\pmb b_1,\dots,\pmb b_n\) 의 선형결합으로 나타낼 수 있으며 유일하다.
  • \(V\) 의 부분집합이 \(n\) 개보다 많은 벡터를 포함하면 이 부분집합의 벡터들은 선형종속이다.
  • \(V\) 의또 다른 기저 \(C=\{\pmb c_1,\dots,\pmb c_m \}\) 가있다면\(m=n\) 이다.
• 벡터공간 \(V\)의 차원(dimension) 은 기저의 개수로 정의되며 \(dim(V)\)로 표시한다.